la frase del mes

"La física es como el sexo. Seguro que tiene una utilidad práctica, pero no es por eso que lo hacemos" Richard Feynman

Un charco en la calzada

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Un charco en la calzada se vislumbra. Un fragmento de cielo robado. Pero a estas tierras la lluvia hace tiempo olvidó cómo llegar. El llamado efecto mojado en las carreteras es un fenómeno habitualmente observado y un familiar ejemplo de espejismo, resultado directo de la curiosa tendencia de la luz a modificar su trayectoria en función de las propiedades del medio en el que se propaga. A continuación, trataremos de dar una idea intuitiva de la física del fenómeno apoyándonos sólo lo indispensable en la matemática implicada... Quo vadis, lux?


Una forma sencilla y eficaz de tratar la luz es mediante el modelo de rayo, totalmente válido y equivalente al modelo de frentes de onda. Así pues hablaremos en todo momento de rayo de luz y ello nos permitirá visualizar fácilmente su trayectoria, identificando ambos conceptos a pesar de las sutilezas en que nos podríamos demorar.




Merece la pena recordar un fundamento de la visión: el ojo prolonga los rayos recibidos en la dirección en que inciden, sobre la que proyectan la imagen del emisor. Es lo que sucede, por ejemplo, en un espejo. Como mostramos bajo estas líneas, el rayo procedente del nudo de la corbata incide con un cierto ángulo con respecto a la línea discontinua -llamada normal de la superficie- y se refleja formando el mismo ángulo hasta llegar a los ojos del Señor Pollastre -es una de las leyes básicas de la reflexión-, que lo prolongan en dicha dirección.


Exactamente lo mismo sucede cuando observamos por ejemplo un pez que se halla bajo la superficie de un lago. De éste parte luz hacia la misma formando un ángulo b con la normal. Entra en juego el fenómeno de la refracción: la luz cambia de dirección al cambiar de medio de propagación. Esto se manifiesta en el hecho de que el ángulo a, con el que emerge en el medio aire, es diferente -concretamente mayor- que el ángulo b. Pero a nuestros ojos eso es algo que les trae sin cuidado. Igual que ante un espejo, prolongan la luz en la dirección en que la reciben y sobre ésta forman la imagen del emisor, en este caso del pez; en consecuencia, como mostramos arriba, la posición en la que lo vemos es aparente. La ley que gobierna la relación entre los ángulos a y b se conoce como la Ley de Snell, mostrada a continuación, y se puede deducir de no pocos razonamientos

n sen(a)=N sen(b)

Uno de ellos conduce a una expresión mucho más general, la llamada Relación de Bouguer n sen(x)=K, donde "x" es el ángulo considerado (a,b...); "n", una magnitud llamada índice de refracción y K, una constante. Significa que el producto del índice de refracción característico del medio y el seno del ángulo que forma el rayo de luz con la normal a la superficie -incidiendo o emergiendo- se mantiene constante para un mismo rayo, para una misma trayectoria luminosa. Es la Relación de Bouguer, junto con algún otro detalle que comentaremos en adelante, lo que justifica la formación de espejismos.


Pincelemos antes el significado de la magnitud "n"-o "N"-. El índice de refracción que caracteriza un medio en unas condiciones concretas es la relación entre la velocidad, v, a la que la luz se propaga en él y a la que se propaga en el vacío o en el aire (c=300.000 m/s); es decir, un cociente, una división, algo tan simple como:

n= c/v

Cuyo valor mínimo es la unidad puesto que nada viaja más rápido que la luz*. La velocidad a la que la luz se propaga por un medio depende de sus características, y por tanto el índice de refracción también. Podemos proseguir sin aludir al resto de tendencias manifiestas del índice de refracción. Quedémonos con la naif idea de que el índice de refracción es mayor en medios más densos y apliquémosla al ejemplo de refracción anterior. Quienes hayan olvidado qué es la función matemática seno fíjense simplemente en el cambio de trayectoria de la luz.

El índice de refracción del agua es mayor que el del aire. Siendo esto así, y exigido el cumplimiento de la relación de Bouguer, el seno del ángulo emergente ha de ser mayor que el incidente. Esto es:

n(agua) > n(aire) => n(del agua) sen(b)=n(aire) sen(a) <=> a

La luz se inclina hacia abajo al pasar de un medio de mayor índice a otro de menor índice

Si le damos la vuelta, es decir, si se incide desde un medio de índice de refracción menor sobre otro de índice mayor la luz cambia de trayectoria acercándose a la normal. Resumimos los dos casos en el esquema siguiente.


También podemos imaginar la situación en que el medio de mayor índice de refracción se encuentre encima del de men0r y no al contrario, como hasta ahora hemos representado; incluso podemos imaginar que el rayo atraviesa sucesivamente diferentes medios de índice de refracción decreciente. Aplicando una y otra vez el razonamiento anterior, la relación de Bouguer, dibujaríamos un esquema como éste




donde hemos querido expresar el decaimiento del índice de refracción mediante degradado de color. En el dibujo, el índice de refracción decrece con cada estrato y, por tanto, en cada estrato, la trayectoria de la luz se acerca más a la horizontal. Qué sucede cuando la alcanza es ya algo que depende de características funcionales del índice más complicadas y que requiere un tratamiento matemático más esmerado**. Aquí aceptaremos sin discusión que la luz viaja en el sentido de mayor índice de refracción : después de alcanzar la horizontal, la luz volverá a curvarse para regresar al estrato caracterizado por un mayor índice de refracción. La secuencia siguiente a la anterior sería, pues***:


la luz regresa

Pues bien, esto es exactamente lo que sucede en un espejismo como el de efecto mojado. En días especialmente calurosos y soleados, el asfalto de la carretera se calienta, calienta las capas de aire en contacto y modifica su densidad: cuanto más cercanas a la calzada, más calientes; cuanto más calientes, más dilatadas; cuanto más dilatadas, menos densas; cuanto menos densas, de menor índice de refracción. Al final, el aire reproduce la estratificación plana del dibujo anterior, reproduce la tendencia de incremento de índice con la altura. La luz procedente del cielo incide sobre estas zonas, así estratificadas, y se curva de modo que regresa. Al igual que en un espejo cualquiera, vemos la imagen de la fuente emisora situada allí, de donde a nuestros ojos le parece provenir la luz. Vemos un charco, pero no es un charco de agua, sino una parcela de cielo.

Un fenómeno similar es el de los espejismos marítimos superiores. La superficie del agua enfría las capas adyacentes y como consecuencia el aire adopta una configuración estratificada en la que el índice de refracción decrece con la altura. Los rayos emitidos hacia arriba se curvan hacia abajo, regresan. En resumen, sucede como explica la ilustración.


Justificando fenómenos ópticos tan curiosos como el de la fotografía que nos sirve de punto final.


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*La transmisión de información no puede efectuarse a velocidades mayores; sin embargo, sí se han detectado velocidades mayores a "c"... la cuestión es: ¿velocidades de qué?. En otra ocasión profundizaremos en Óptica Electromagnética y en teoría ondulatoria para explicarlo.

**sobre la ecuación de la trayectoria del rayo mediante desarrollos en serie de Taylor, en los que tienen cabida términos relacionados con la existencia de un mínimo o un máximo en la función definitoria del índice de refracción, los cuales determinan qué puede y no sucederle al rayo una vez alcanza la horizontal.

***a diferencia del caso horizontal, la luz no abandona la verticalidad una vez adoptada -si lo hace es por fluctuaciones impuestas por condiciones externas a la física básica e inherente al fenómeno. Este hecho se puede demostrar a partir de la relación de Bouguer y con la ayuda de un esquema similar a los aquí mostrados. Se le deja al lector como divertimento.

5 comentarios:

Fran dijo...

Muy bueno Jesús y buenos dibujos ahi con el paint, me ha encantado el señor pollastre y su corbata.

Fran dijo...

Una cosa, en el punto de inflexión de tu último dibujo, donde la pendiente es 0, que hace volver al rayo hacia "arriba".

J. Salvador dijo...

Como he anotado al final,depende de la función índice. Si la expresión matemática de "n" encuentra un mínimo (su derivada segunda es positiva) las trayectorias rectilíneas no están permitidas en el medio; esto se debe a que esa derivada segunda aparece en el desarrollo en serie de Taylor de la expresión de la trayectoria del rayo desarrollada alrededor del mínimo. Es una cuestión puramente matemática. Un saludo.

Tantoril dijo...

Me encanta tu blog, ¿has estudiado alguna carrera? Se nota que sabes del tema.
Estás en mi blogroll ;)

Petrovska dijo...

Eesto no me guusta...