Modelo de Drude de la conducción eléctrica

En el año 1900, el físico alemán especializado en Óptica Paul Drude modeló la conducción eléctrica en metales de una forma muy intuitiva, recurriendo a una formalismo matemático clásico que, introducido en las ecuaciones de Maxwell -pilares del Electromagnetismo- condujo a una reinterpretación de la ley de Ohm microscópica. A continuación esbozamos las líneas maestras de su razonamiento y adjuntamos un par de expresiones matemáticas. Advertimos de antemano que el fenómeno de la conducción encuentra una explicación mucho más correcta y acorde con nuestra comprensión actual de la naturaleza en la Física Cuántica; pero como para poder abordar desde la Cuántica esta cuestión se necesitarían no pocas entradas preliminares, hemos optado por presentar el Modelo de Drude. En cuanto a la "verdadera explicación", a la cuántica... al tiempo.

La materia, hasta donde muestra la enseñanaza obligatoria, encuentra en neutrones, protones y electrones sus unidades constituyentes últimas. Éstas se organizan en átomos -un núcleo de neutrones y protones apiñados y una nube de electrones orbitando alrededor-, los cuales se enlazan por diferentes mecanismos con otros átomos para formar moléculas simples -de pocos átomos enlazados-, cadenas de átomos más largas o redes complejas.

El enlace metálico es uno de los mecanismos citados. Un gran número de átomos del mismo elemento se deshace de sus electrones más externos, más alejados del núcleo, ¿consecuencia?, quedan todos ellos cargados positivamente -iones positivos o cationes- y embebidos en una nube de electrones que pululan a placer entre éstos, que por decirlo de alguna manera se "han anclado" en sus posiciones conformando una red iónica; algo así como lo que se representa en el esquema anterior, pero en tres dimensiones.

El concepto de enlace metálico introducido sustenta el modelo de Drude. La conducción eléctrica exige flujo de electrones, es decir, que los electrones ambulantes que se desplazan caóticamente por doquier entre los inoes positivos anclados se muevan todos en una misma dirección y sentido. La intensidad de corriente es la cantidad de carga neta que atraviesa la unidad de superficie perpendicular a su desplazamiento por unidad de tiempo. Orientamos el desplazamiento de los electrones en una dirección y sentido mediante la aplicación de un campo eléctrico externo -constante y uniforme- consiguiendo así un desplazamiento neto no nulo de los electrones... EN OTRAS PALABRAS:

Imaginad una tabla de madera... ¡¿una tabla de madera?!... sí, sí, una tabla de madera. La tabla de madera simboliza el espacio. En ella hemos clavado muy ordenadamente unos cuantos clavos, que vienen a ser los iones anclados que configuran la red metálica. Y entre ellos hemos esparcido canicas muy pequeñas. Aplicar un campo eléctrico es como inclinar la tabla de madera: todas las canicas se deslizan hacia abajo. Hemos conseguido un movimiento unidireccional y de sentido único para todas las canicas/electrones dentro de la red de iones/clavos mediante la inclinación de la tabla/aplicación de un campo eléctrico en el espacio.

Siga ahora, quien lo desee*, la trayectoria de una de esas canicas/electrones como representativa de todas las demás. Una de esas canicas comenzará su descenso libremente hasta que choque con uno de los clavos, momento en que toda su energía cinética se disipa en la colisión, esto es, la canica choca y se para, pero inmediatamente se vuelve a poner en movimiento debido a la inclinación de la tabla de madera. Vuelve a chocar con otro clavo y se repite el proceso. La aplicación del campo eléctrico desplaza los electrones a través de la red, pero es inevitable que choquen con los iones anclados que la forman. Drude aplica la segunda ley de Newton, F=ma, y escribe la ecuación del movimiento de un electrón. Tras integrarla, supone que el tiempo promedio entre colisión y colisión es constante. Obtiene una expresión para la velocidad media de los electrones -velocidad de deriva- y la sustituye en la relación constitutiva de los medios no aislantes. Se obtiene así una expresión para la conductividad del medio en función de la carga, del tiempo entre colisiones, de la masa de la carga y de la densidad de carga. Para los intrépidos, unas pinceladas matemáticas de mi puño y letra:

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*A partir de esta línea procedemos a un bla-bla matemático dirigido a quienes tienen algo de experiencia con el electromagnetismo.