Los objetos fractales

La copa de un pino no es un cono. Una coliflor no es una esfera. Aproximar una vaca por una esfera sólo deja anchos a los físicos. Para que los objetos de la naturalezan adquirieran la suavidad de las formas geométricas clásicas, alguien debería armarse de paciencia y darles a todos un buen planchado. La realidad es rugosa y, si nos ponemos tan quisquillosos, indescriptible según la matemática que todo el mundo ha estudiado de integrales y derivadas.

Pero más allá de esto, si uno observa el pino o la coliflor que hemos mencionado durante un rato, no tarda en percatarse de que el crecimiento de ambos parece haberse gobernado por una sencilla ley de autorreplicación: de un tronco principal brotan varias ramas, de cada rama, otras ramas, de éstas últimas, otras ramitas... hasta llegar a la hoja donde los nervios se bifurcan de una manera similar. ¡¿Dónde está la autorreplicación?! ¡Salvo en concepto de crecimiento, la rama de un árbol no es réplica del árbol entero...! Cierto, quizá más convincente resulte el ejemplo de la coliflor. Tómese una coliflor entera. Pártase por la mitad y compárese con la primera, sin considerar el tamaño sino sólo la estructura ¿no podría pasar media coliflor por una entera?. Repítase el proceso, ¿no podría pasar un cuarto de coliflor por una entera? ¿Y si lo repetimos cien veces? En este punto ya nadie nos vende la fracción de coliflor como coliflor entera, pues la semejanza se empieza a perder.

Aunque la naturaleza nos falle al límite, la idea de la táctica de autorreplicación en el crecimiento no se nos escapa a nadie.

La segunda mitad del siglo XX alumbró la matemática fractal: la matemática de los objetos autosemejantes, esto es, figuras -dibujos- que se construyen siguiendo un proceso iterativo sobre sí mismas y el resultado de cada iteración, de modo que a cualquier escala, cualquier porción de dibujo es exactamente igual al dibujo completo.

Para comprender estas cuatro líneas recurrimos a un ejemplo clásico, el triángulo de Sierpinski*:

Dibújese un triángulo equilátero -etapa 1. Márquense los puntos medios de cada lado y sirvan éstos de vértices de un nuevo triángulo, que "se recorta" -etapa 2. En los tres triángulos que quedan se repite el proceso por separado y resulta la etapa 3 (obsérvese aquí ya la autosemejanza de los tres triángulos recortados con el total). Si se repite con los nueve triángulos el proceso se obtiene la etapa 4. Y así hasta cuando queramos. Esto es un objeto fractal.

Otro ejemplo clásico es el del fractal de Koch, del que adjuntamos el proceso de construcción y un gráfico que hace referencia a la autosemejanza.

La fractalidad parece un simple divertimento matemático, pero en su tratamiento más formal brinda la herramienta idónea para el tratamiento de objetos de dimensión compleja -esto es, cosas que no son puntos, líneas, planos, volúmenes lisos...- y empieza a abrirse camino en áreas como la de la salud o las finanzas.

Os dejamos un artístico viaje a las entrañas del famoso fractal de Mandelbrot, principal precursor de esta nueva matemática que quizá en un futuro no muy lejano tenga no poco que aportar. Bienvenidos al mundo de lo infinito.

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*imagen capturada de la Wikipedia

**Mandelbrot tiene publicados tres libros divulgativos al respecto. Según tengo entendido, no son, aun así, de lectura ligera.